Lexikon

Ein Gerät oder Fahrzeug verliert jedes Jahr an Wert. In der Buchhaltung ist es üblich, diesen Wertverlust pro Jahr mit einem konstanten Prozentsatz zu verbuchen. Man nennt dies «Abschreibung».

siehe Häufigkeit

Bei einem Messresultat ohne Fehlerangabe gilt die letzte Stelle als gerundet:
a = 64,3 mm bedeutet
64,25 < a < 64,35 beziehungsweise
a = (64,3 ± 0,05) mm
Diese 0,05 mm nennt man «absoluter Fehler».

Bei einer Geradenspiegelung in der Ebene oder bei der Symmetrieachse einer Figur spricht man kurz von «Achse» (siehe Achsenspiegelung).

siehe Achsenspiegelung

Das Achsentrapez ist ein Trapez bei dem die Mittenverbindung der Parallelseiten («v» in der Graphik) eine Symmetrieachse ist.
Die Figur wird auch «gleichschenkliges Trapez» (b = d) genannt.

Die Addition ist eine Operation erster Ordnung.
Das Operationszeichen ist das + («plus»).

Eine Summe ist …

Für die Addition gelten das Assoziativ- und das Kommutativ-Gesetz.

Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion.

Haben bei einer Abbildung Original und Bildfigur die gleiche Form, so spricht man von «Ähnlichkeitsabbildung».

Beispiel:

Wichtigste Ähnlichkeitsabbildung ist die Zentrische Streckung.

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die schriftlichen Rechenverfahren

ggT-Bestimmung

Heron-Verfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel einer Zahl

Sortieren einer Namensliste nach Alphabet oder von Zahlen nach ihrer Grösse

Wird eine Gleichung oder eine Ungleichung (jeweils mit einer Unbekannten) durch jede Zahl erfüllt, so spricht man von einer «allgemeingültigen Gleichung» bzw. von einer «allgemeingültigen Ungleichung».

Beispiel

Der Altersquotient ist definiert als Verhältnis

Archimedische Körper sind Polyeder, deren Oberfläche sich aus zwei oder mehr verschiedenen Typen regelmässiger Vielecke zusammensetzt. Dabei muss an jeder Ecke die gleiche Konfiguration vorhanden sein.

Zwei Beispiele

Das arithmetisches Mittel von n Werten wird wie folgt berechnet:
(Summe aller Werte) : (Anzahl Summanden)

Beispiel
Gegeben seien die vier Werte
4,80    5,23    5,01    5,32

Das arithmetische Mittel beträgt

Oft spricht man auch einfach von «Durchschnitt».

Aus einem Produkt gemäss Distributivgesetz eine Summe herstellen. Der umgekehrte Vorgang heisst Ausklammern.

Beispiel 1: «relative Häufigkeit»

Prozentualer Anteil an Haushalten mit 1, 2, 3, 4 oder 5 Personen

Beispiel 2: «absolute Häufigkeit»

Anzahl Anhänger von blau, rot oder grün, welche die Kandidatinnen A bis D gewählt haben

Verteilung von Knaben und Mädchen in einer Familie mit drei Kindern (Geburtenfolge).

Es sind 8 Fälle möglich. Wenn es bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit um die Anzahl Mädchen geht, dann sind bloss noch 4 verschiedene Fälle zu unterscheiden: 0, 1, 2 oder 3 Mädchen.

Bei einer Abbildung (z.B. einer Spiegelung) werden Figuren in ihrer Lage verändert – manchmal auch in ihrer Grösse und Form.

Die Ausgangsfigur nennt man «Original», die resultierende Figur heisst «Bild» oder «Bildfigur».

Das Binärsystem wird auch «Dualsystem» oder «Zweiersystem» genannt.

Im Zehnersystem stellen wir jede noch so grosse Zahl mit zehn verschiedenen Ziffern dar.
Im Binärsystem können wir jede beliebige Zahl mit lediglich zwei verschiedenen Ziffern – der 0 und der 1 – darstellen.

Dualzahlen werden im Informatikbereich eingesetzt, weil ein System oft durch zwei Zustände – nämlich «1» (ein) oder «0» (aus) – beschrieben werden kann.

An die Stelle der Zehnerpotenzen treten die Zweierpotenzen als Stufenzahlen:

→

Bei der Addition zweier Zahlen werden nicht die Zehner, sondern die Zweier übertragen:

Wenn eine Stelle den Wert 2 erreicht, wird sie auf 0 gesetzt und eine 1 auf die nächste Stelle übertragen.

Eine wichtige Rolle beim Faktorisieren von Summen haben die drei Binomischen Formeln. Ihre Bedeutung geht aber weit über dies hinaus. Der Name deutet auf zweiteilige Summen (lateinisch «bi» für «zweimal»).

8 Bit werden zu 1 Byte gebündelt. 1 Byte ist also eine achtkomponentige Informationsmenge:
Mögliche Zustände in einem Byte sind
00000000
00000001
…
…
11111110
11111111
Die Ziffernfolgen entsprechen den Zahlen 0 bis 255. Mit 1 Byte können also nicht nur 8, sondern 256 verschiedene Informationen gespeichert werden.

Ein Bruch kann als Teil eines Ganzen aufgefasst werden («Bruchteil»).

Die entsprechenden Werte bezeichnet man als «Wert» und «Kehrwert».

Ein Bruch mit Zähler 1 heisst «Stammbruch»:

Siehe auch Dezimalbruch, Prozent und Bruchoperationen

Beachte:

Regel: «Bruch 1 mal Kehrwert von Bruch 2»

Von lateinisch CENTUM («hundert»), steht es als  c für «Hundertstel» vor einer Masseinheit. Gebräuchlich sind cm und cl.

Ausgeschrieben wird das c zu einem z:
«Zentimeter», «Zentiliter»

Siehe Tabelle «Vorsilben»

Steht als d für «Zehntel» vor einer Masseinheit. Gebräuchlich sind dm und dl.

Siehe Tabelle «Vorsilben»

Zahlen mit Komma oder Punkt heissen im Zehnersystem «Dezimalbruch».

Beispiele für Dezimalbrüche:

Jeder Bruch kann auch als Dezimalbruch dargestellt werden.

Bemerkung:

Irrationale Zahlen können nicht als Bruch dargestellt werden.
Stellt man sie als Dezimalbruch dar, ist dieser weder periodisch noch abbrechend.

Beispiele:

Siehe Komma und Dezimalbruch

Beispiel:

Die Verbindungsstrecke von zwei nicht benachbarten Ecken in einem Vieleck heisst «Diagonale».

Ein  konvexes n-Eck hat   Diagonalen. Ein Sechseck hat somit neun, ein Fünfeck fünf Diagonalen.

Eine Darstellung, die grafisch den Zusammenhang zwischen zwei oder mehr Grössen veranschaulicht, nennen wir «Diagramm».

Gebräuchliche Diagrammtypen:
Kreisdiagramm
Balkendiagramm
Säulendiagramm
Histogramm
Liniendiagramm
Stabdiagramm

Von einem «Diagramm» spricht man auch, wenn die Abhängigkeit zweier Grössen in einem
xy-Koordinatensystem dargestellt wird.

Die Dichte ist definiert als Verhältnis zwischen Masse und Volumen:

Die Dichte wird mit dem griechischen Buchstaben(«Rho») bezeichnet:

Im Alltag sind folgende Masseinheiten gebräuchlich:                          

Beispiel

Siehe  Subtraktion

Siehe Rechengesetze

«Dividieren» heisst «teilen», «durch rechnen» oder «aufteilen».

Die Division ist eine Operation zweiter Ordnung.

Das Operationszeichen ist der Doppelpunkt  :  («durch» oder «geteilt durch», in speziellen Fällen auch «gemessen mit»); manchmal wird dafür auch ein Bruchstrich eingesetzt.

Ein Quotient ist …

Die Umkehroperation der Division ist die Multiplikation.

Damit ist eine Division durch 0 nicht erlaubt, denn dann müsste die Gleichung
a = 12 : 0 durch eine Zahl a gelöst werden, für die a · 0 = 12 ergäbe.

Siehe auch Bruchoperationen

Beispiel

♦

Mit den gemessenen Werten wird nun die Dichte ρ berechnet.

Unterer und oberer Wert der Dichte im Rahmen der Messgenauigkeit:

Eine vernünftige Angabe des Messresultates mit (Maximal-) Fehler ist dann

Die Drehung ist eine Kongruenzabbildung.

Spezialfall:
Beträgt der Drehwinkel 180°, so spricht man von einer «Punktspiegelung».

In einem Dreieck werden die Eckpunkte üblicherweise im Gegenuhrzeigersinn mit Grossbuchstaben in alphabetischer Reihenfolge beschriftet, zum Beispiel mit A, B, C. Die Seiten bezeichnet man dann meistens mit den entsprechenden Kleinbuchstaben a, b, c, wobei a der Ecke A gegenüberliegt, b der Ecke b und c der Ecke C. Der Winkel bei Punkt A heisst dann α («Alpha»), der Winkel bei B heisst β («Beta») und derjenige bei C heisst γ («Gamma»).

Dreiecke kann man nach Winkelgrössen oder Seitenlängen einteilen. Die längste Seite liegt immer dem grössten Winkel gegenüber.

3

siehe Mittelwerte

Beim Messen von Grössen braucht man (Mass-) Einheiten als Vergleich.

Beispiele:

Schritt 2
Die Lösung in G₂ einsetzen und die Gleichung auf y lösen.

Beträgt die «Wachstumsrate» r bei exponentiellem Wachstum zum Beispiel 2%, so ändert sich die betrachtete Grösse pro Zeitschritt offenbar um den konstanten Faktor 1,02.

Die Zahl q = 1 + r heisst «Entwicklungsfaktor» oder «Wachstumsfaktor».

Der euklidische Algorithmus beschreibt ein Verfahren, mit dem der
grösste gemeinsame Teiler ggT(a; b) von zwei natürlichen Zahlen a und b
gefunden werden kann.

Für jedes konvexe Polyeder gilt der eulersche Polyedersatz:
e – k + f = 2 oder e + f = k + 2

Beispiel
Entwicklung  der Wassertemperatur, wenn eine Pfanne mit heissem Wasser in den Kühlschrank gestellt wird.

Nimmt eine Grösse B pro Zeitschritt (pro Sekunde, pro Stunde, pro Jahr, …) immer um den gleichen Prozentsatz zu, so spricht man von «exponentielles Wachstum».

Die Wachstumsrate ist konstant:

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♦

Kapitalentwicklung mit konstantem Zinssatz 2%:

Bakterienpopulation, die sich alle 12 Stunden verdoppelt:

Bei 0 < q < 1 verringert sich die Grösse B. Man spricht in diesem Fall von «exponentieller Abnahme» oder «exponentiellem Zerfall»
Beispiele

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♦

Abnahme des Luftdruckes mit zunehmender Höhe:

(Hektopascal, wenn die Höhe h in km gemessen wird)

verbleibende C14-Aktivität eines Knochenfundes t Jahre nach dem Tod:

Siehe Multiplikation

Drei verschiedene Objekte A, B und C kann man auf 3 ∙ 2 ∙ 1 Arten «permutieren»:

Für die erste Position hat man drei Auswahlmöglichkeiten, für die zweite noch zwei und für die dritte Position bleibt bloss noch ein Objekt übrig.

Für n verschiedene Objekte gibt es folgende Anordnungsmöglichkeiten:

n ∙ (n - 1) ∙ (n - 2) ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

Abkürzung für dieses Produkt ist der Ausdruck n! (gelesen «n Fakultät»). Seine Grösse wächst sehr schnell:

5!

10!

20!

70!

=

=

=

120

3'628'800

2,4 ∙ 10¹⁸

ergibt eine Zahl mit über 100 Stellen und überfordert auch einen gewöhnlichen Taschenrechner.

Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm (das «Zentimeterquadrat») hat eine Fläche von 1 cm², das «Meterquadrat» hat eine Fläche von 1 m².

Weil in einem Meterquadrat 100 · 100 Zentimeterquadrate Platz finden,
gilt: 1 m² = 10² · 10² cm²  = 10⁴ cm²  = 10'000 cm² .

= 100 dm²

Schreibpapier oder Couverts sind in der Regel nur in bestimmten Grössen erhältlich. Diese «Formate» wurden durch das Deutsche Institut für Normierung (DIN) festgelegt und sind heute auch in der Schweiz gültig.

Am vertrautesten ist uns das Format DIN-A. Bei allen (rechteckigen) Blättern dieses Types ist das Verhältnis der Seiten zueinander identisch:

Aus einem DIN-A4-Blatt entstehen durch halbieren senkrecht zur längeren Seite zwei Blätter des Formats A5.

Die Fläche des Formates DIN-A0 beträgt 1m². Somit betragen bei einem DIN-A4-Blatt die Seitenlängen etwa 210 mm bzw. 297 mm.

Oft gibt es zwischen zwei Grössen x und y einen Zusammenhang. Ist dieser so, dass jedem x genau ein y zugeordnet werden kann, so spricht man von einer «Funktion».

Die Menge aller x-Werte nennt man «Definitionsbereich» oder «Originalbereich».
Die Menge der y-Werte bezeichnet man als «Wertebereich» oder «Bildbereich».

x heisst meist «freie» oder «unabhängige» Variable.
y nennt man «abhängige» oder «gebundene» Variable.
Die Benennung ist so gewählt, weil bei Funktionsgleichungen der Form y = f(x) die y-Werte nach einer bestimmten Regel aus  den x-Werten berechnet werden.

Beispielaufgabe
Wie gross kann die Fläche A eines Rechtecks sein, wenn der Umfang 40 Einheiten beträgt?
Der halbe Umfang beträgt 20 Einheiten. Das ist Länge plus Breite des Rechtecks.

Wertetabelle zur Aufgabe:

Der zugehörige Graph im Koordinatensystem zeigt die Entwicklung der Funktion (in unserem Beispiel die Entwicklung des Flächeninhaltes in Abhängigkeit von der Rechteckslänge).

siehe auch
Graph, Geradengleichung, Geschwindigkeit, Funktionsterm und quadratische Funktion

Beispiel

Mit dieser Vorschrift berechnet sich für jede Zahl x ein Wert y.

Überträg man die Wertepaare (x, y) als Punkte in ein Koordinatensystem, so liegen alle Punkte auf einer Parabel mit folgender Funktionsgleichung:

Die Parabel hat ihren Scheitel im Punkt S(3,–5) und ist nach oben geöffnet.

Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Sie umfassen folgende (unendliche) Menge:

Zwei Zahlen, die auf dem Zahlenstrahl punktsymmetrisch zu 0 liegen (z.B. 7 und –7), nennt man «Zahl» und «Gegenzahl».

Das geometrische Mittel zweier positiver Zahlen ist definiert als Wurzel aus ihrem Produkt.

Geometrisch lässt sich das geometrische Mittel deuten als Seitenlänge jenes Quadrats, das den gleichen Flächeninhalt aufweist wie das Rechteck mit den Seitenlängen a und b.

Konstruktiv findet man das geometrische Mittel mit dem Höhensatz.

Jede mathematisch lineare Gleichung zwischen x und y wird im Koordinatensystem als Gerade dargestellt. Die «Geradengleichung» lässt sich – ausser im Fall einer Parallelen zur y-Achse – immer wie folgt schreiben:
y = a · x + b
Die Werte von a und b legen eine Gerade eindeutig fest.

Die Gerade steigt mit wachsendem x.
Die Gerade fällt mit wachsendem x.
In diesem Fall  lautet die Geradengleichung y = b.

b ist der y-Achsenabschnitt.

Jede lineare Gleichung der Form A ∙ x + B ∙ y + C = 0 beschreibt ebenfalls eine Gerade im Koordinatensystem.

Siehe Achsenspiegelung

Unter der (mittleren) Geschwindigkeit versteht man das Verhältnis zwischen dem zurückgelegtem Weg und der dazu benötigten Zeit:

In vielen Fällen ändert sich das Tempo fortwährend. Die Geschwindigkeitsentwicklung lässt sich dann anhand von Diagrammen gut veranschaulichen:

Im Weg-Zeit-Diagramm erscheint die (Momentan-)Geschwindigkeit als Steigung:

Die Abkürzung ggT steht für «grösster gemeinsamer Teiler» von zwei oder von mehreren Zahlen.

Beispiel
ggT(51;30) = 3

Für das Auffinden des ggT ist der euklidsche Algorithmus ein effizienter Weg, der auch leicht über eine Tabellenkalkulation zugänglich ist.

Beim gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich gross (60°).
Höhe, Schwerlinie und Winkelhalbierende fallen zusammen, und damit natürlich auch Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt, Um- und Inkreismittelpunkt. Wie alle regulären Vielecke hat es einen In- und einen Umkreis.

siehe auch Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen mit einer oder mehreren Variablen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.

Eine «Gleichung lösen» heisst:
Zahlen für die Variablen so suchen, dass die beiden Terme den gleichen Wert haben.

Grafik ist Sammelbegriff für eine bildliche, oft geometrische Darstellung.

Spezielle Beispiele:
Kreisdiagramm
Balkendiagramm

Siehe auch Graph

Siehe Graph

Wird der Zusammenhang zweier Grössen in einem Koordinatensystem dargestellt, spricht man von einen «Graphen».

Beispiele: Füllgraphen, Weg-Zeitdiagramm, Anhalteweg eines Autos …

Wenn in einem Koordinatensystem der Zusammenhang zwischen zwei Grössen dargestellt ist, spricht man oft auch von «grafischer Darstellung», statt von «Graphen».

α

ν

β

ξ

γ

ο

δ

π

ε

ρ

ζ

σ

η

τ

ϑ

υ

ι

φ

κ

χ

λ

ψ

μ

ω

Unter «Grössen» versteht man eine Verbindung von Zahl und Einheit. Oft spricht man präziser von «Masszahl» und «Masseinheit».

Beispiele:

17,5 m

4,9 l

18 cm³

Bei 10 m/s oder 2.50 Fr./kg oder 2,7 kg/dm³ spricht man von «zusammengesetzten Grössen».

Eine in der Statistik gebräuchliche Bezeichnung für einen untersuchten Bereich (Frauen, Männer, Jugendliche, Stimmberechtigte, Glühlampen, Laubbäume, …).

Verlässliche Informationen  über eine Grundmenge versucht man durch die Wahl einer geeigneten Stichprobe zu gewinnen.

Als «Grundoperationen» bezeichnet man meist die Addition und die Subtraktion (beides Operationen erster Stufe) sowie die Multiplikation und die  Division (Operationen zweiter Stufe).

Das Wurzelziehen und Potenzieren gelten als Operationen dritter Stufe und zählen nicht zu den Grundoperationen.

siehe Rechengesetze, Wurzel

♦
♦

Die Angabe 17,4 m ist als «auf 3 gültige Ziffern genau» aufzufassen (± 0,05 m).
17,40 m bedeutet dann ± 0,005 m und ist als «auf 4 gültige Ziffern genau» zu verstehen.

Bei exponentiellem Zerfall gibt es einen Zeitschritt T, innerhalb dessen sich die betrachtete Grösse jeweils halbiert. Diese Zeit nennt man «Halbwertszeit».

Wichtig ist dieser Begriff bei der Altersbestimmung nach der C14-Methode (für C14 beträgt
T etwa 5'700 Jahre), oder bei radioaktiven Materialien, wo die Halbwertszeit ein Indiz für ihre Gefährlichkeit ist (bei Sr90 etwa 29 Jahre, bei Pu239 etwa 24'000 Jahre).

Erscheint bei 100 Würfen mit einem Spielwürfel 14-mal die Zahl 6, so ist 14 die absolute Häufigkeit für die Augenzahl 6.

Die relative Häufigkeit wird wie folgt angegeben (hier für die Augenzahl 6):

Sehr gebräuchlich ist bei relativen Häufigkeiten die Angabe in Prozent.

Beispiel:

In einem bestimmten Gebiet wurden auf eine Million Geburten 513 147 Knaben und
486 853 Mädchen geboren.

Die relative Häufigkeit für Knabengeburten liegt hier ziemlich genau bei 51,3%.

Steht als h für «Hundert» vor einer Masseinheit. Gebräuchlich sind hl und hPa (Masseinheit für Luftdruck «Hektopascal»).

Siehe Tabelle «Vorsilben»

Siehe Balkendiagramm

Steht für «Exponent», siehe Potenz

Wie die Illustration zeigt, gibt es im Parallelogramm zwei verschiedene Höhen.

Konstruiert man ein rechtwinkliges Dreieck aus den Hypotenusenabschnitten p und q mit
q =1, so hat die Höhe die Länge

Die Graphen zur Funktion vom Typ

nennt man «Hyperbeln».

Beispiele

Vielecke mit mehr als drei Ecken haben im Allgemeinen keinen Inkreis.

Ein Viereck mit Inkreis heisst Tangentenviereck.

Ein beliebiges n-Eck lässt sich in (n – 2) Dreiecke aufteilen.
Somit beträg die Summe der Innenwinkel

Zahlen, die sich nicht als Bruch in der Form

schreiben lassen, bezeichnet man als irrationale Zahlen.

In der Dezimalbruchdarstellung sind sie ...

♦

In der Darstellung unten liegen die irrationalen Zahlen im «weissen Bereich», also ausserhalb der rationalen, aber innerhalb der reellen Zahlen.

Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden die irrationalen Zahlen den Bereich der reellen Zahlen.

Siehe auch rationale Zahlen

Jedes Element hat – aufgrund seiner Protonenzahl im Kern – einen bestimmten Platz im Periodensystem.
Von einem Element gibt es mehrere, meist instabile Versionen, die sich durch die Neutronenzahl unterscheiden, chemisch aber identisch reagieren.

Weil sie im Periodensystem an der gleichen Stelle stehen, heissen sie «Isotope» (griechisch isotopos «gleiche Stelle»).

Beispiele

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♦

♦

C12 (natürliche Häufigkeit = 99%):
besteht aus 6 Protonen und 6 Neutronen; ist stabil
C13 (natürliche Häufigkeit = 1%):
besteht aus 6 Protonen und 7 Neutronen; ist ebenfalls stabil
C14 (natürliche Häufigkeit < 10^-12 ):
besteht aus 6 Protonen und 8 Neutronen; hat eine Halbwertszeit von 5'700 Jahren.

Der «Jugendquotient» ist definiert als Verhältnis

der Wohnbevölkerung.

Die Reinheit von Gold wurde früher in «Karat» (kt) angegeben.
«24 Karat» steht für 100% Goldanteil (Feingold) am Gewicht, 18 Karat für 75% Goldanteil.

Heute wird die Reinheit von Gold üblicherweise in Promille angegeben. Die Stempelung «750» in einem Schmuckstück bedeutet, dass die Legierung von 1000 Gewichtsanteilen 750 Anteile (d.h. drei Viertel) reines Gold enthält.

Dieser Satz wird auch «Kathetensatz des Euklid» genannt.

Ein (gerader) Kreiskegel hat als Standfläche einen Kreis.
Die Höhe h verbindet die Spitze mit dem Standkreismittelpunkt.
Der Mantel ist ein Kreissektor.

Kreissektor

Bogenlänge b

Mantelfläche M

Grund und Aufriss des Kegels

Schrägbild

Volumen V

Mantelfläche M

Mantelfläche M

Volumen V

Abkürzung für «kleinstes gemeinsames Vielfaches».

Steht als k für «Tausend» vor einer Masseinheit. Gebräuchlich sind kg und km.

Bei sehr vielen mathematischen Problemstellungen ist systematisches Zählen gefragt. Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik und steht für «Kunst des Zählens». Oft hilft beim systematischen Zählen ein Baumdiagramm.

Beispiel:

Wie viele verschiedene Wege gibt es von A über B nach C, wenn man bei A unter drei und bei B unter zwei Wegen wählen kann?

Aus dem Baumdiagramm ersieht man sofort, dass es 3 · 2 = 6 verschiedene Wege gibt.

Das Komma trennt im Dezimalsystem die Stellenwerte zwischen Einern und Zehnteln.

Grafisch erfolgt diese Trennung heute oft durch einen Punkt, den «Dezimalpunkt» (Taschenrechner, Computer).

Zwei Objekte sind «kongruent», wenn sie die gleiche Form und die gleiche Grösse haben.
Mathematisches Zeichen dafür ist die Wellenlinie über dem Gleichheitszeichen:
F₁ ≅ F₂.

Eine Kongruenzabbildung führt eine Figur in eine gleich grosse Figur von gleicher Form über. Dabei bleiben Winkel, Längen und Flächen der Figur unverändert.

Die Achsenspiegelung, die Drehung, die Punktspiegelung und auch die Schiebung sind Kongruenzabbildungen.
 

Achsenspiegelung:

Drehung:

Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei (geeigneten) Stücken übereinstimmen.

Das heisst auch: Wenn die drei Stücke vorgegeben werden, ist das Dreieck in Grösse und Form vollständig bestimmt.

Ein Vieleck ohne einspringende Ecken wird «konvex» genannt.

Allgemein
Eine Fläche heisst «konvex», wenn die kürzeste Verbindung zwischen zwei beliebigen Punkten der Fläche ganz innerhalb der Fläche liegt.
Ein Körper ist konvex, wenn die kürzeste Verbindung zwischen zwei beliebigen Punkten des Körpers ganz innerhalb des Körpers verläuft.

Legt man in die Ebene ein (kartesisches) Koordinatensystem, gehört zu jedem Punkt in eindeutiger Weise ein Zahlenpaar P(x/y).

Normalerweise wählt man die x-Achse horizontal mit Richtungspfeil nach rechts (rot in der Abbildung), die y-Achse vertikal mit Richtungspfeil nach oben (blau in der Abbildung).

Die erste Koordinate eines Punktes ist die x-Koordinate, die zweite Koordinate eines Punktes ist die y-Koordinate.

Um die Lage eines Punktes im Raum eindeutig festzulegen, benutzt man drei paarweise aufeinander senkrecht stehende Achsen. Jeder Raumpunkt ist dann durch drei Koordinaten P(x/y/z) eindeutig festgelegt.

Ein Koordinatensystem ist ein Raster, das die Ebene (oder den Raum) so in genau lokalisierbare Teile zerlegt, dass die Lage eines Punktes, einer Geraden, einer Ebene oder eines Graphen durch eine Vorschrift (Zahlen, Gleichung) eindeutig auszumachen ist.

Um die Lage eines Punktes im Raum eindeutig festzulegen, kann man ein «kartesisches Koordinatensystem» einsetzen (die drei Achsen x, y und z stehen paarweise senkrecht aufeinander).

Den Punkt P (2/3/2,5) erreicht man vom Koordinatenursprung her, indem man sich 2 Schritte in x-Richtung, 3 Schritte in y-Richtung und dann 2,5 Schritte in z-Richtung bewegt.

Das kartesische Koordinatensystem wird normalerweise als Rechtssystem bzw. rechthändiges System dargestellt:

Daumen, Zeigfinger und Mittelfinger der rechten Hand zeigen in dieser Reihenfolge in x-, y- und in z-Richtung.

Im Kreisdiagramm (auch «Tortendiagramm» genannt) werden Anteile an einem Ganzen dargestellt.

Bogenlänge b

Sektorfläche A_s

damit gilt für die Sektorfläche auch
Beachte die Ähnlichkeit zur Formel für die Dreiecksfläche.

Von einem Punkt P ausserhalb eines Kreises gibt es zwei Tangenten an den Kreis.
Die Berührungsradien stehen senkrecht auf den Tangenten.
Damit können die Berührpunkte mithilfe des Thaleskreises über der Mitte

Siehe auch Kreisteile

Linien und Flächen am Kreis:

Für jeden Punkt C auf dem Bogen über AB gilt: Der zugehörige Peripheriewinkel (auch «Umfangswinkel» genannt) ist halb so gross wie der zugehörige Zentriwinkel:

Im Grenzfall, in dem die Sehne AB zum Durchmesser wird, beträgt der Peripheriewinkel 90°.

Siehe Satz des Thales

π ist eine irrationale Zahl. Als Dezimalbruch dargestellt bricht π nicht ab und ist nicht periodisch. Gerundet auf 5 Stellen: π ≈ 3,14159

Ist ein Kreis Umkreis eines regulären n-Ecks und zugleich Inkreis eines regulären n-Ecks, kann seine Fläche durch Einschachteln mit wachsendem n immer genauer bestimmt werden. Man erhält so jeweils bessere Werte für  π.

Das Prinzip von Cavalieri erlaubt die Herleitung der Fomel für das Kugelvolumen.

Nach Segner sind die Querschnittsflächen einer Halbkugel und des Differenzkörpers aus Zylinder und Kegel mit Höhe h = r auf jeder Höhe gleich gross.

Eine Legierung ist eine Mischung aus verschiedenen Metallen.
Messing zum Beispiel ist eine Legierung, die hauptsächlich aus Kupfer und Zink besteht.

Funktionen, die im kartesischen Koordinatensystem dargestellt eine Gerade ergeben, bezeichnen wir als «linear».

Eine Gleichung, bei der die Variablen nur in der ersten Potenz vorkommen, nennt man «linear».

lineare Gleichung mit einer Unbekannten:
2x – 3 = 0

lineare Gleichung mit zwei Unbekannten:
x – 2y + 5 = 0

Oft kann man eine Situation durch mehrere lineare Gleichungen beschreiben, die alle gleichzeitig erfüllt sein müssen. Zu einem solchen «Gleichungssystem» sind dann die gemeinsamen Lösungen gesucht.

Liegen zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten vor, spricht man oft kurz von einem
«2x2-Gleichungssystemystem».

Zur algebraischen Lösung eines solchen Systems werden oft drei Verfahren angeboten:
das Additionsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren.

Das Gemeinsame an den drei Verfahren:
Man stellt aus den zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten her, löst dann diese und setzt die gefundene Lösung in die andere Gleichung ein.
Diese wird so zu einer Gleichung mir einer Unbekannten und kann nun leicht gelöst werden.

Nimmt eine Grösse B im Laufe der Zeit in gleichen Zeitschritten Δt immer gleich viel zu, so spricht man von «linearem Wachstum».

Die Punkte (t/B(t)) liegen auf einer Geraden.

Das Liniendiagramm wird oft eingesetzt, um eine Entwicklung darzustellen:
Eine Grösse wird zu verschiedenen Zeitpunkten gemessen und dann mit einem Streckenzug dargestellt («Fieberkurve»).

Die Zeichnung zeigt das Lot von Punkt P auf die Gerade g.

Je nach Situation ist damit die Senkrechte (Gerade) oder bloss die Strecke von P nach F (dem «Lotfusspunkt») gemeint.

In einem «magischen Quadrat» der Seitenlänge n sind n² Zahlen so platziert, dass die Summe jeder Zeile, jeder Spalte und jeder der beiden Diagonalen gleich gross ist.

Beispiel

Üblich ist, dass in einem n x n – Quadrat die Zahlen von 1 bis n² eingetragen sind. Es ist aber auch möglich, magische Quadrate zum Beispiel aus lauter geraden Zahlen oder lauter Primzahlen zu konstruieren.

Beim Zylinder beträgt die Mantelfläche:

M = 2π · r · h

Beim geraden Prisma besteht die Mantelfläche aus lauter Rechtecken. Genau wie beim Zylinder beträgt ihre Grösse Höhe ∙ Umfang der Grundfläche.

Die Oberfläche ist die Summe aller Flächeninhalte der begrenzenden Flächen, d.h. Mantelfläche + Grundfläche + wenn vorhanden Deckfläche.

«Massstab 1:100» heisst, dass 1 cm auf dem Plan 100 cm in der Wirklichkeit  bedeuten.

Beispiel:

4 cm auf einer Karte mit Massstab 1:25'000 entsprechen 1 km Länge in der Wirklichkeit, denn:
4 cm · 25'000 = 100'000 cm = 1'000 m = 1 km

Ordnet man Messwerte oder Ergebnisse einer Stichprobe der Grösse nach, teilt der «Median» die Stichprobe in zwei Teile mit gleichem Umfang.

Beispiele

Steht als M für «Million» vor Masseinheiten.

Steht als griechischer Buchstabe μ («mü») für «Millionstel» vor Masseinheiten. Gebräuchlich sind μm («Mikrometer») als Längeneinheit und μs («Mikrosekunde») als Zeiteinheit.

Steht als m für «Tausendstel» vor Masseinheiten. Gebräuchlich sind mm und ms.

In einem Vieleck verbinden die Mittellinien zwei benachbarte Seitenmitten.

Siehe auch Mittendreieck und Mittenviereck

Alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten zur Strecke von A nach B.

Verbindet man die Mitten M_a, M_b und M_c der Dreiecksseiten, so erhält man das Mittendreieck.

Merke:

Jede Mittellinie ist parallel zur gegenüberliegenden Dreiecksseite und halb so lang wie diese.

Im Viereck ist das Mittenviereck immer ein Parallelogramm.

Die Mittenverbindung des Viereckes ist im Dreieck ABC auch Mittellinie (vgl. Illustration).

Im Rechteck ist das Mittenviereck ein Rhombus und umgekehrt.

Weiter ist die Fläche des Mittenvierecks halb so gross wie jene des Ausgangsvierecks.

Bei Abzahlungsgeschäften wird das noch nicht zurückbezahlte Geld mit einem «Monatszins» belastet.

Ein Monatszins von 1% – dies entspricht einem Wachstumsfaktor  q = 1 + 1% = 1,01 – führt innert 12 Monaten zu einem Wachstumsfaktor 1,01¹² = 1,1268 oder zu einem realen Jahres-zinssatz von 12,68%.

Dies heisst umgekehrt: Bei einem Jahreszinssatz von 12% ist der Monats-Zinssatz (der «konforme Zinssatz») bloss näherungsweise 1%. Genauer müsste man mit 0,949 % rechnen.

Die Multiplikation ist eine Operation zweiter Ordnung.
Das Operationszeichen ist ein Punkt · («mal»).

Eine Produkt ist …

Beachte:

Zwischen zwei Variablen oder zwischen einer Zahl und folgendem Buchstaben wird das Malzeichen oft weggelassen:

Die Glieder eines Produktes heissen «Faktoren».

Siehe auch Rechengesetze und Bruchoperationen

Multiplizieren heisst «mal nehmen».

Natürliche Zahlen sind jene, mit denen man zählt. Für die unendliche Menge braucht man das Symboloder auch die Schreibweise {1, 2, 3, 4, 5, ...}. 0 und die negativen Zahlen gehören nicht zu den natürlichen Zahlen.

Siehe auch rationale Zahlen

Zahlen kleiner als 0 heissen negative Zahlen.

Darstellung auf dem Zahlenstrahl:

Siehe auch rationale Zahlen

Netz eines (geraden) Dreiecks-Prismas (auch «Dreierprisma»):

Wenn man einen Körper längs einzelner Kanten so aufschneidet, dass sämtliche begrenzenden Flächen zusammenhängend auf einer Ebene ausgelegt werden können, so spricht man von einem «Netz» oder einer «Abwicklung» des Körpers. Ein Körper kann meist auf mehrere Arten aufgeschnitten werden.

Siehe auch Prisma und Würfelnetze.

Unter der Oberfläche eines Körpers versteht man (meist) die Summe aller Flächeninhalte seiner Teilflächen.

Beispiel: Würfel

Beispiel 2: Gerader Kreiszylinder

Man kann auch sagen:
Beim geraden Kreiszylinder bilden ein Rechteck (mit der Fläche 2 π r · h) und zwei Kreise (mit der Fläche  2 · π r²) die Oberfläche.

Mit «Orientierung» wird der Drehsinn einer Figur oder eines Winkels bezeichnet.

Das Dreieck ABC ist positiv orientiert (im Gegenuhrzeigersinn), das gespiegelte Dreieck ist negativ orientiert (im Uhrzeigersinn).

Wenn die Orientierung eines Winkels eine Rolle spielt, dann sind folgende Angaben üblich:
α =     «44° im Gegenuhrzeigersinn»          oder      «+49°».
β =     «60° im Uhrzeigersinn»                    oder      «‒60°».

Schneidet man einen Kegel mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft, so ergibt sich als Schnittkurve eine «Parabel».

Stellt man diese Kurve im Koordinatensystem so dar, dass die y-Achse parallel zur Symmetrieachse der Parabel verläuft, kann man die Kurve mit einer quadratischen Funktionsgleichung beschreiben:

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie überall den gleichen Abstand haben.

Die Parallelität wird oft mittels kleiner Doppelstriche angezeigt.

Das Parallelogramm (auch «Rhomboid») ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind.

Beachte:

Fläche  =    Seitenlänge mal zugehörige Höhe (Höhe = Streifenbreite)

Zum «Parkettieren» eignen sich (wenn man nur eine einzige Sorte Vielecke einsetzen will) das Quadrat, das Rechteck, das Parallelogramm und damit auch jedes Dreieck – aber auch ein allgemeines Viereck, ein reguläres Sechseck und diverse weitere Vielecke mit speziell abgestimmten Längen und Winkeln.

Siehe auch reguläres Parkett, Penrose-Parkett

Nichtperiodische Parkette mit einer kleinen Anzahl verschiedener Bausteine, mit denen sich zwar parkettieren lässt, sich aber kein regelmässig wiederholendes Muster einstellt. Der Mathematiker Roger Penrose (* 1931) hat als einer der Ersten solche Parkette gefunden.

Beispiel
Die drei Ziffern 1, 2, und 3 können auf sechs verschiedene Arten angeordnet werden:
123
132
213
231
312
321

Ein «platonischer Körper» ist ein regelmässiges Polyeder: Alle Begrenzungsflächen sind zueinander kongruente regelmässige Vielecke, und an jedem «Knoten» treffen gleich viele Vielecke aufeinander.

Jeder platonische Körper besitzt eine In- und eine Umkugel mit gemeinsamem Zentrum.

siehe archimedische Körper, eulerscher Polyedersatz

Aus dem Griechischen («Vielflächer») stammende Bezeichnung für einen Körper, der durch (ebene) Vielecke begrenzt wird.

Der abgebildete Kuboktaeder zum Beispiel kann durch gleichmässiges Abschleifen der Ecken eines Würfels je bis in die Kantenmitten erzeugt werden. Er besteht aus 6 Quadraten und 8 gleichseitigen Dreiecken, hat 12 Ecken und 24 Kanten.

Wichtige spezielle Formen

♦
♦

reguläre Polyeder (siehe platonische Körper)
halbreguläre Polyeder (siehe archimedische Körper)
konvexe Polyeder (siehe eulerscher Polyedersatz)

3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 3⁵
a • a • a • a = a⁴

Für grosse (und auch für sehr kleine positive Zahlen) werden Zehnerpotenzen eingesetzt: Basis der Potenz ist dann die Zahl 10.

siehe auch Potenzgesetze

Für Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten gelten folgende Gesetze (a bezeichnet die Basis, n und k die Exponenten):

Bei Potenzen mit positiven Basen sind die Zahlen 0 und 1 sowie negative Zahlen als Exponenten sinnvoll. Dies lässt sich mit dem Gesetz 2 zeigen:

Laut Gesetz 3 gilt:

Aus der Definition der Wurzel folgt:

Weil das Ergebnis beider Gleichungen (im Beispiel = 10) identisch ist, gilt somit

(Vergleiche die Ausdrücke in den Klammern der beiden identischen Gleichungen.)

Mit Taschenrechnern, welche eine «y^x»-Taste haben, lassen sich so Wurzeln direkt berechnen.

Beispiel

Beispiele:

30 = 2 · 3 · 5

90 = 2 · 3² · 5

68'607 = 3⁴ · 7 · 11²

Bei den natürlichen Zahlen unterscheidet man die «Primzahlen» von den «zusammengesetzte Zahlen».

Primzahlen lassen sich nur durch 1 und sich selbst teilen. Eine Primzahl hat demnach genau zwei (unechte)  Teiler: die Zahl 1 und sich selbst. Die Zahl 1 ist nach diesen Kriterien keine Primzahl (sie hat nur einen Teiler).

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Zusammengesetzte Zahlen lassen sich in eindeutiger Weise in Primfaktoren zerlegen, aus denen sich alle Teiler der betreffenden Zahl gewinnen lassen.

Beispiel:

60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 =  2 · 2 · 3 · 5

Folgende Zahlen sind echte Teiler von 60:

2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30

Primzahlen zwischen 1 und 100

Primzahlen spielen beim Verschlüsseln von Dokumenten (Kreditkarten, Mailverkehr) eine zentrale Rolle.

Ausser bei den Zahlen 2 und 3 sind zwei Primzahlen immer mindestens zwei Schritte auf dem Zahlenstahl voneinander entfernt. Zwei Primzahlen, die sich um genau 2 unterscheiden, heissen «Primzahlzwillinge».

Beispiele:

(3;5), (5;7), (11;13), (17;19) aber auch (71;73) oder (1'019;1'021)

Primzahlzwillinge werden «gegen oben» immer seltener. Stark zu vermuten ist, dass es trotzdem unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Erstaunlicherweise konnte dies aber bis heute nicht bewiesen werden.

Der italienische Mathematiker Bonaventura Cavalieri (etwa 1598-1647) hat das folgende Prinzip formuliert:
«Sind die Querschnittflächen von zwei Körpern auf jeder Höhe gleich gross, sind auch die Volumen gleich gross.»

Mit dem Prinzip von Cavalieri lassen sich zum Beispiel das Volumen eines schiefen Prismas, eines schiefen Zylinders oder auch das Kugelvolumen ermitteln.

Verschiebt man ein Vieleck senkrecht zur Ausgangslage durch den Raum, so überstreicht es ein (gerades) Prisma. Grund- und Deckfläche sind kongruent, die Seitenflächen sind Rechtecke.

Quader und Würfel sind spezielle gerade Prismen.

Erfolgt die Verschiebung des Vielecks nicht senkrecht («schräg») zur Ausgangslage, so spricht man von einem «schiefen Prisma».

Um räumliche Objekte auf einem Blatt Papier darzustellen, gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Zentralprojektion
Bild bei punktförmiger Lichtquelle

Parallelprojektion
Bild bei parallelen Lichstrahlen (Sonne)

Fallen die Lichtstrahlen senkrecht auf die Bildebene, so spricht man von einer «senkrechten Projektion» oder «Normalprojektion». Fallen die Lichtstrahlen hingegen in einem andern Winkel auf redet man von einem Schrägbild.

Promille (‰) bedeutet «Tausendstel» (lateinisch PRO MILLE «von tausend»).

Beispiel:

Promillegrenze:
Wer in der Schweiz mit einem Blutalkoholwert von über 0,5 ‰  ein Motorfahrzeug fährt, muss mit rechtlichen Folgen rechnen.

Zwei Grössen x und y heissen «proportional» zueinander, wenn das Verdoppeln (Halbieren, Dritteln, …) der einen Grösse das Verdoppeln (Halbieren, Dritteln, …) der anderen Grösse bewirkt.

In der Wertetabelle erkennt man Proportionalität daran, dass der Quotient aus zugeordneten Werten konstant ist, ausgenommen das Paar (0/0).

Die konstante Grösse k in der Gleichung y = k · x heisst «Proportionalitätsfaktor» oder «Proportionalitätskonstante».

Prozent (%) bedeutet «Hundertstel» (lateinisch PRO CENTUM «von hundert»).

Diese Abmachung legt fest, dass beim Rechnen Mal- und Divisionszeichen («Punktoperationen», «Operationen zweiter Stufe»)  stärker binden als Plus- und Minuszeichen («Strichoperationen», «Operationen erster Stufe»).

Multiplikation und Division heissen «Punktoperationen», weil ihre Operationszeichen aus Punkten bestehen (Operationen zweiter Stufe).

Siehe auch Punkt vor Strich

Konstruktiv ist sie – einfacher als durch einen Drehvorgang – wie folgt auszuführen:

Beispiel:

Punktsymmetrische Figuren

Propeller und viele Spielkarten sind punktsymmetrische Figuren.

Beachte:

Mit G₁ und G₂ als Boden- und Deckelfläche ergibt sich das Volumen:

Verschiebt man ein Rechteck senkrecht zur Ausgangslage durch den Raum, so überstreicht es einen Quader.

Alle begrenzenden Flächen sind Rechtecke, je zwei sind kongruent.

Volumen          V = a · b · c

Oberfläche       O = 2 · (ab + ac + bc)

•
•
•
•

Es besitzt vier Symmetrieachsen.
Der Schnittpunkt der Symmetrieachsen ist Symmetriezentrum.
Alle Seiten sind gleich lang.
Alle Winkel sind rechte Winkel.

x² + 10 · x – 20
x² + 10 · x
(x + 5)² – 25
(x + 5)²
x + 5
x₁
x₂

Eine Funktion mit der Gleichung

nennt man allgemein quadratische Funktion.

Man kann diese Vorschrift umformen zur Scheitelpunktsform:

u und v sind dann die Scheitelpunktskoordinaten der Parabel.

In dieser Darstellung ist der Scheitelpunkt ist jeweils der tiefste oder der höchste Punkt der Parabel («Minimum» bzw. «Maximum»).

Eine quadratische Gleichung hat allgemein die Form

Durch Division der allgemeinen quadratischen Gleichung durch a erhält man die «Normalform»:

Diese Gleichung hat je nach Grösse von p und q zwei Lösungen, eine Lösung oder gar keine Lösung.

Die Parabel mit der Gleichung

hat mit der x-Achse entweder zwei Schnittpunkte (zwei Lösungen), berührt die x-Achse (eine Lösung) oder verläuft ganz oberhalb der x-Achse (keine Lösung).

Beim Lösen der Gleichung hilft die quadratische Ergänzung.
So lässt sich auch eine Lösungsformel herleiten. Sie lautet

Wenn der Ausdruck D = p² – 4q > 0 ist, hat die Gleichung zwei Lösungen,
bei D = 0 hat die Gleichung eine Lösung,
bei D < 0 hat sie keine Lösung.

Eine Grösse y kann in Abhängigkeit von einer andern Grösse x nicht nur linear oder exponentiell, sondern auch zum Beispiel «quadratisch» (mit x²) oder mit der dritten Potenz (mit x³) wachsen.

Beispiel
Wenn x die Kantenänge eines Würfels ist, gilt für die Oberfläche des Würfels S = 6 ∙ x² und für sein Volumen V = x³ .

Die positive Lösung der Gleichung x² = a (für a > 0) ist x = «Quadratwurzel aus a». Geschrieben wird die Quadratwurzel aus a als.

In der Schule wird statt «Quadratwurzel» oft einfach «Wurzel» gesagt. Statt «Quadratwurzel aus a» sagt man «Wurzel a».

In den meisten Fälllen istweder ganzzahlig noch rational.

Siehe auch Wurzel, Potenzgesetze

Die Summe der Ziffern einer Zahl heisst «Quersumme».

Beispiel
Quersumme (4356) = 4 + 3 + 5 + 6 = 18

Siehe Division, Rechengesetze und Bruchoperationen

Viele Isotope eines Elements sind instabil:
Sie zerfallen mit einer für sie typischen Halbwertszeit. Beträgt diese beispielsweise 1 Stunde, bedeutet das, dass von einer Probe nach einer Stunde genau die Hälfte der Atome zerfallen ist. Trotzdem ist es für ein einzelnes Atom völlig unbestimmt, ob es in der nächsten Sekunde oder erst nach einem Tag zerfällt.

Durch zweimaliges Anwenden des Satzes von Pythagoras ergibt sich die Länge der Quader-Raumdiagonalen (d_R).

Die Raumdiagonale eines Würfels mit Kantenlänge a beträgt:

Assoziativgesetz

Distributivgesetz
(beide Operationen gleichzeitig)

Zudem ist die Regel «Punkt vor Strich» zu beachten.

Beim Rechnen mit Zahlen gelten folgende Regeln:

Klammerregel 1

Das Rechteck ist ein Viereck mit lauter rechten Winkeln.

Weitere Eigenschaften des Rechteckes:

•
•

•

Die Diagonalen sind gleich lang.
Die Geraden, welche gegenüberliegende Seitenmitten verbinden,
sind Symmetrieachsen.
Der Schnittpunkt der Diagonalen ist das Symmetriezentrum der Figur.

Das rechtwinklige Dreieck spielt in der Mathematik eine derart zentrale Rolle, dass seine Teile eigene Namen haben:

Für das rechtwinklige Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

a² + b² = c²

Ein regelmässiges n-Eck ist eine ebene Figur mit n Ecken, bei der alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich gross sind.

Ein regelmässiges n-Eck hat sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis.

Beispiele:

gleichseitiges Dreieck, Quadrat,
regelmässiges Sechseck (Bienenwabe)

Der Innenwinkel im regelmässigen n-Eck beträgt:

Ein Parkett heisst regulär, wenn ...

1.
2.
3.

alle Stücke regelmässige Vielecke (Polygone) sind,
Ecken stets an Ecken stossen und
an jeder Ecke regelmässige Vielecke sich in jeweils gleicher Anzahl treffen.

Wird nur eine einzige Sorte kongruenter regelmässiger Vielecke eingesetzt, heisst das Parkett platonisch. Offenbar gibt es bloss drei Möglichkeiten dazu:
lauter gleichseitige Dreiecke, lauter Quadrate oder lauter regelmässige Sechsecke.

Wenn zwei oder mehr Sorten regulärer Vielecke eingesetzt werden, heisst das Parkett  archimedisch.

♦

Relativer Fehler Δs = ±1 cm bei s = 20 cm: 

Wenn man im Bereich der natürlichen Zahlen eine Zahl durch eine andere Zahl teilt, dann geht die Rechnung meistens «nicht auf», d.h. es bleibt ein ganzzahliger Rest.

Beim Teilen einer natürlichen Zahl durch 7 zum Beispiel sind folgende Reste («7er-Reste») möglich:

1, 2, 3, 4, 5, 6 (Rechnung geht nicht auf) und 0 (Rechnung geht auf).

Beispiel:

55 hat den 7er-Rest 6

80 hat den 7er-Rest 3

a)

b)

Multiplikation der beiden Zahlen:

55 · 80 = 4'400  →4'400 hat den 7er-Rest 4

Multiplikation der 7er-Reste beider Zahlen:

6 · 3 = 18          → 18 hat den 7er-Rest 4

Der Rhombus (die «Raute») ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.

•

•

Für einen Rhombus gilt:
Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und
sind Symmetrieachsen.
Der Schnittpunkt der Diagonalen ist (wie bei allen
Parallelogrammen) Symmetriezentrum.

Ein Körper wird auf drei Ebenen abgebildet (projiziert), die paarweise senkrecht aufeinander stehen. Diese Abbildungen heissen «Risse».

Grundriss
Aufriss
Seitenriss

«von oben gesehen»
«von vorne gesehen»
«von der Seite gesehen»

Im antiken Rom wurden die natürlichen Zahlen mit Buchstaben notiert.
Basiszeichen sind I für 1, V für 5, X für 10, L für 50, C für 100 («CENTUM»), D für 500 und M für 1000 («MILLE»).

Für die Notation der römischen Zahlen gibt es einige Regeln, die aber nicht immer und überall strikt eingehalten wurden:

♦

♦
♦

Zeichen mit hohem Wert stehen links, solche mit niedrigerem Wert rechts (wie in unserer Zahlnotation).
Höchstens drei Zeichen der gleichen Sorte folgen aufeinander.
Steht ein Zeichen mit niedrigem Wert links von einem mit höherem Wert, dann ist das Zeichen mit dem niedrigen Wert vom höheren abzuziehen.

Römische Zahlen
III
IV
VII
IX
XL
CLXXIX
DCC
MMXIX

Zehnersystem
3
4
7
9
40
179
700
2019

——————————————————

Beim Rechnen entstehen oft Zahlen mit zu vielen Ziffern. Dann wird sinnvollerweise auf- oder abgerundet.

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Kathetenquadrate gleich gross wie die Fläche des Hypotenusenquadrats.

Wichtig ist auch die Umkehrung des Satzes:
Wenn in einem Dreieck zwei Seiten-Quadrate zusammen gleich gross sind wie das Quadrat über der dritten Seite, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Der Winkel gegenüber einem Kreisdurchmesser, welches ein Dreieck mit einem Punkt auf den Kreis bildet, beträgt 90° (rechter Winkel).

Anders betrachtet:

Der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus eine vorgegebene Strecke unter einem rechten Winkel erscheint, ist der «Thaleskreis» über .

Siehe Kreiswinkelsätze

Wird eine Figur in eine bestimmte Richtung als Ganzes um eine bestimmte Strecke verschoben (Pfeil in der Abbildung), so spricht man von einer «Schiebung».

Wenn parallele Lichtstrahlen ein Objekt – zum Beispiel einen Würfel – beleuchten, so erzeugen sie auf einem Blatt ein ebenes (zweidimensionales) Bild.

Man spricht von einem «Schrägbild», wenn die Strahlen schräg (d.h. in einem Winkel von
≠ 90°) auf das Blatt (auf die Projektionsebene) fallen.

Im Dreieck ist dies der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden (auch Schwerlinien genannt). Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1.

Ein Viereck mit Umkreis heisst Sehnenviereck.

Im Sehnenviereck sind gegenüberliegende Winkel zusammen 180° gross, weil die zugehörigen Zentriwinkel sich auf 360° ergänzen.

Wenn Geraden oder Strecken einen 90°-Winkel bilden, spricht man von «senkrecht stehen».

Gebräuchlich sind die beiden Darstellungen oben.
Im «mathbuch» markieren wir rechte Winkel mit Viertelkreis und Punkt.

Eine Gerade kann im Raum senkrecht auf einer Ebene stehen (man spricht auch vom «Lot auf einer Ebene»), und ebenso kann eine Ebene auf einer anderen Ebene senkrecht stehen:

Die Strecke steht senkrecht auf der Bodenebene ABCD. Die gleiche Strecke steht auch senkrecht auf der Strecke und auf der Strecke .

Die Ebene links durch die Seitenfläche DCGH steht senkrecht auf der Bodenebene ABCD.

Die Gerade durch die Flächenmitten M₁ und M₂ steht senkrecht auf der Seitenfläche DCGH.

Statt mit Rechtecken wie im Balkendiagramm werden Werte im Stabdiagramm durch vertikale Strecken dargestellt.

In der Statistik werden Daten gesammelt, dargestellt und ausgewertet (interpretiert). Statistik ist ein wesentliches Hilfsmittel in Naturwissenschaften, Soziologie, Ökonomie, Meteorologie, Medizin, Politik, Technik usw. und somit nicht mehr aus dem Alltag wegzudenken.

Von einer statistischen Untersuchung werden oft bloss wenige charakteristische Zahlen bekannt gegeben, zum Beispiel das arithmetische Mittel oder der Median.

Hinweis

Bei einem Keil, einer Rampe, aber auch bei einer Geraden im Koordinatensystem ist die Steigung definiert als Verhältnis .

Zu einem Steigungswinkel von 45° gehört die Steigung 1 = 100%

Siehe auch Geradengleichung

Eine Zahl besteht im Allgemeinen aus mehreren «Ziffern», und diese haben – je nach Position – einen anderen Wert.  Die Stellenwert-Tafel macht dies deutlich:

erste Zahl:

zweite Zahl:

Will man zur Wirksamkeit eines Medikamentes, zur Höhe der Wohnungsmieten in einer Stadt, zur Lebensdauer eines bestimmten Lampentyps, zum voraussichtlichen Ausgang einer Wahl, zu den Fernsehgewohnheiten von Jugendlichen in der Schweiz, … eine Auskunft haben, so zieht man aus dem zu untersuchenden Bereich eine «Stichprobe».

An der Stichprobe führt man dann die notwendigen Untersuchungen durch und versucht aus den Resultaten eine verlässliche Aussage über die  Grundmenge zu machen.

Wird ein Dreieck AZB durch zentrische Streckung abgebildet, stehen auftretende Streckenlängen auf den Parallelen (in der Illustration blau) und den beiden Geraden
durch Z (rot) in Verhältnissen, die aufgrund der Ähnlichkeit der Teildreiecke verständlich sind.

Beispiele

Ein Streckenprofil veranschaulicht grafisch einen Weg so, dass horizontal die Distanz zum Startpunkt und vertikal je die zugehörige Höhe über Meer (in überhöhtem Massstab) aufgetragen wird.

Wir zeigen die Teilung einer Strecke AB in n gleiche Teile am Beispiel von n = 5.

Eine Hilfsgerade h wird durch den Anfangspunkt A gelegt. Dann werden auf dieser Geraden n gleich lange Strecken abgetragen.
Der Endpunkt des letzten Abschnitts wird mit dem Endpunkt B der zu teilenden Strecke verbunden. Parallelen zu dieser Verbindung durch die Teilpunkte auf h liefern auf AB die gewünschte Teilung.

Bei einem Parallelenpaar versteht man unter «Streifenbreite» den Abstand der Parallelen.