Mathbuch - Lexikon

Eine quadratische Gleichung hat allgemein die Form

Durch Division der allgemeinen quadratischen Gleichung durch a erhält man die «Normalform»:

Diese Gleichung hat je nach Grösse von p und q zwei Lösungen, eine Lösung oder gar keine Lösung.

Grafisch ist das leicht einzusehen:

Die Parabel mit der Gleichung

hat mit der x-Achse entweder zwei Schnittpunkte (zwei Lösungen), berührt die x-Achse (eine Lösung) oder verläuft ganz oberhalb der x-Achse (keine Lösung).

Beim Lösen der Gleichung hilft die quadratische Ergänzung.
So lässt sich auch eine Lösungsformel herleiten. Sie lautet

Wenn der Ausdruck D = p²– 4q > 0 ist, hat die Gleichung zwei Lösungen,
bei D = 0 hat die Gleichung eine Lösung,
bei D < 0 hat sie keine Lösung.

siehe auch quadratische Funktion

Beispiel
x² + 10 · x – 20 x² + 10 · x (x + 5)² – 25 (x + 5)² x + 5 x₁ x₂	= = = = = = =	0 20 20 45

Eine Funktion mit der Gleichung nennt man allgemein quadratische Funktion.
Diese Funktion beschreibt eine (quadratische) Parabel. ♦ Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten. ♦ Ist \|a\| > 1, dann ist die Parabel «schlank». ♦ Für 0 < \|a\| < 1 ist die Parabel «ausladend».
Man kann diese Vorschrift umformen zur Scheitelpunktsform: u und v sind dann die Scheitelpunktskoordinaten der Parabel.

In dieser Darstellung ist der Scheitelpunkt ist jeweils der tiefste oder der höchste Punkt der Parabel («Minimum» bzw. «Maximum»).

Die positive Lösung der Gleichung x² = a (für a > 0) ist x = «Quadratwurzel aus a». Geschrieben wird die Quadratwurzel aus a als. In der Schule wird statt «Quadratwurzel» oft einfach «Wurzel» gesagt. Statt «Quadratwurzel aus a» sagt man «Wurzel a».
In den meisten Fälllen istweder ganzzahlig noch rational.
Beispiel

Siehe auch Wurzel, Potenzgesetze

Lexikon

Quader

Quadrat

quadratische Ergänzung

quadratische Funktion

quadratische Gleichung

quadratisches Wachstum

Quadratwurzel

Quersumme

Quotient

Verschiebt man ein Rechteck senkrecht zur Ausgangslage durch den Raum, so überstreicht es einen Quader.

Alle begrenzenden Flächen sind Rechtecke, je zwei sind kongruent.
Volumen V = a · b · c Oberfläche O = 2 · (ab + ac + bc)


Das Quadrat ist das regelmässigste Viereck.
• • • •	Es besitzt vier Symmetrieachsen. Der Schnittpunkt der Symmetrieachsen ist Symmetriezentrum. Alle Seiten sind gleich lang. Alle Winkel sind rechte Winkel.

Zum Lösen einer quadratischen Gleichung der Form x² + p · x + q = 0 bringt man diese in folgende, leicht lösbare Form: (x + r)² = s